向量和标量相乘
s\mathtt a = (sa_x,sa_y,sa_z)
不改变向量的方向，只改变长度。
向量的加减
\mathtt a+\mathtt b = [(a_x+b_x),(a_y+b_y),(a_z+b_z)]
将两个偏移量叠加，类似力的合力。
\mathtt a-\mathtt b = [(a_x-b_x),(a_y-b_y),(a_z-b_z)]
相当于加另一个向量的相反数。
- 方向 + 方向 = 方向
- 方向 – 方向 = 方向
- 点 + 方向= 点
- 点 – 点 = 方向
- 点 + 点 = 无意义
向量的摸
|\mathtt a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}
取得向量的摸，即长度。
标准化向量
\mathtt u=\frac{\mathtt v}{|\mathtt v|}=\frac{1}{v}\mathtt v
获得单位向量，即摸为1的向量。
法向量
法线向量。
向量乘积
点乘
\mathtt a·\mathtt b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=d
\mathtt a·\mathtt b=|\mathtt a||\mathtt b|\cos \theta
向量点乘的结果为标量。
任意向量和单位向量的点乘为投影长度。
|\\mathtt a|^2=\\mathtt a·\\mathtt a
|\\mathtt a|=\\sqrt{\\mathtt a·\\mathtt a}
上面的公式可用于计算和比较摸。
- 共线：(a · b) = ab
- 共线且相反：(a · b) = -ab
- 垂直：(a · b) = 0
- 方向相同：(a · b) > 0
- 方向相反：(a · b)
叉乘
\mathtt a×\mathtt b=[(a_yb_z-a_zb_y),(a_zb_x-a_xb_z),(a_xb_y-a_yb_x)]\\=(a_yb_z-a_zb_y)i+(a_zb_x-a_xb_z)j+(a_xb_y-a_yb_x)k
|\mathtt a×\mathtt b|=|\mathtt a||\mathtt b|\sin \theta
如果a和b是平行四边形的两条边，其面积就是叉乘的摸。
叉乘的结果是垂直于两个向量的向量。